共分散の求め方を徹底解説！公式の意味や相関係数との違いまで完全網羅
データ分析の実務や統計検定の学習において、多くの人が最初の関門として直面するのが「共分散（Covariance）」の計算です。複雑な数式記号やシグマ（$\Sigma$）が並ぶ教科書を見て、「なぜ偏差同士を掛け算するのか」「計算手順がややこしくて途中で挫折した」という悩みを抱える学習者は少なくありません。
共分散は、2つのデータの間に存在する「連動性（同じ方向に動くのか、逆方向に動くのか）」を数値化する極めて重要な統計指標です。本記事では、数学的な背景が苦手な方でも直感的に理解できるよう、具体的な数値例を用いたステップ別の計算手順から、相関係数との明確な違い、Excel（エクセル）での実務的な関数活用法まで、分かりやすく整理してお届けします。
📌 【この記事の重要ポイントまとめ】
- 要点1：共分散の本質は「2変数の偏差を掛け合わせた合計（偏差積和）の平均」であり、2つのデータの連動する向きを示す指標。
- 要点2：相関係数との最大の違いは「単位の影響を受けるかどうか」。共分散は単位に依存するため、単体では相関の強弱を判定できない。
- 要点3：実務や統計検定では「標本共分散（$n$で割る）」と「不偏共分散（$n-1$で割る）」の使い分けと、Excel関数「COVARIANCE.S」の特性把握が必須。
【基礎から納得】共分散の概念と分散・標準偏差の基本公式を整理
共分散を正しく理解するための最短ルートは、まず1変数の分散と標準偏差の基本公式を復習し、そこから自然に2変数の関係へと視点を広げることです。統計学において共分散は、単一データの散らばり具合を表す「分散」の考え方を、2つのデータの関係性へと拡張したものに他なりません。
1つのデータ（変数$X$）のばらつきを表す「分散（$s^2$）」は、各データの値から平均値を引いた「偏差」を2乗し、その平均をとることで求められます。偏差を2乗するのは、平均値より大きいデータ（プラス）と小さいデータ（マイナス）をそのまま足すと合計が必ず0になってしまうためです。
これに対し、2つのデータ（変数$X$と変数$Y$）の連動性を表す共分散（$s_{xy}$）では、自分自身の2乗ではなく、「$X$の偏差」と「$Y$の偏差」を掛け合わせます。この掛け算の値を「偏差積」と呼び、すべてのデータについて足し合わせたものが偏差積和です。
共分散の基本定義式は以下の通りです。
【標本共分散の定義式】
$s_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$
※ここで $n$ はデータ数、$x_i, y_i$ は各データ値、$\bar{x}, \bar{y}$ はそれぞれの平均値を表します。
つまり、統計学共分散わかりやすく解説するならば、「2つの変数がそれぞれの平均からどれくらい離れているかを掛け合わせ、その平均値をとったもの」と表現できます。この仕組みを理解するだけで、暗記に頼っていた数式の意味がスッキリと腑に落ちるはずです。
【実例で学ぶ】共分散公式の計算手順とステップごとの完全ガイド
ここからは、5人の受講生の「勉強時間（時間）」と「テストの点数（点）」という身近なサンプルデータを使い、共分散公式の計算手順をステップ・バイ・ステップで解説します。手計算のプロセスを可視化することで、計算ミスの防ぎ方を身につけましょう。
用意したサンプルデータは以下の通りです。
- 生徒A：勉強時間 2時間 / 点数 50点
- 生徒B：勉強時間 4時間 / 点数 60点
- 生徒C：勉強時間 6時間 / 点数 70点
- 生徒D：勉強時間 8時間 / 点数 70点
- 生徒E：勉強時間 10時間 / 点数 100点
ステップ1：それぞれの平均値を算出する
勉強時間（$X$）の合計は $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30$ なので、平均値 $\bar{x} = 30 \div 5 = 6$ 時間となります。
テスト点数（$Y$）の合計は $50 + 60 + 70 + 70 + 100 = 350$ なので、平均値 $\bar{y} = 350 \div 5 = 70$ 点となります。
ステップ2：各データの「偏差」を求める
各生徒の値から平均値を引き算します。
- 生徒A：$X$の偏差は $2 - 6 = -4$、$Y$の偏差は $50 - 70 = -20$
- 生徒B：$X$の偏差は $4 - 6 = -2$、$Y$の偏差は $60 - 70 = -10$
- 生徒C：$X$の偏差は $6 - 6 = 0$、$Y$の偏差は $70 - 70 = 0$
- 生徒D：$X$の偏差は $8 - 6 = +2$、$Y$の偏差は $70 - 70 = 0$
- 生徒E：$X$の偏差は $10 - 6 = +4$、$Y$の偏差は $100 - 70 = +30$
ステップ3：偏差同士を掛け算して「偏差積」を出し、合計する（偏差積和）
偏差積和の求め方詳細まとめとして、生徒ごとの偏差を掛け合わせます。
- 生徒A：$(-4) \times (-20) = +80$
- 生徒B：$(-2) \times (-10) = +20$
- 生徒C：$0 \times 0 = 0$
- 生徒D：$(+2) \times 0 = 0$
- 生徒E：$(+4) \times (+30) = +120$
これらの合計（偏差積和）を計算すると、$80 + 20 + 0 + 0 + 120 = 220$ となります。
ステップ4：データ数（n=5）で割って共分散を求める
偏差積和を全体の人数である5で割ります。
$s_{xy} = 220 \div 5 = 44$
これで勉強時間とテスト点数の共分散が「44」であると求まりました。値が正（プラス）であるため、「勉強時間が長い人ほどテストの点数が高い」という正の連動傾向があることが確認できます。
なぜマイナスになる？共分散が負の値をとる理由と散布図の直感的理解
学習者から頻繁に寄せられる疑問の一つが、「共分散が負の値をとる理由がイメージできない」という点です。これを理解するには、データを平面上にプロットした散布図と相関の強さ判定を結びつけるのが最も直感的です。
散布図の中心に「$X$の平均値」を通る垂直線と、「$Y$の平均値」を通る水平線を引くと、グラフは4つのエリア（象限）に分割されます。
- 右上エリア（第1象限）：$X$も平均以上（プラス）、$Y$も平均以上（プラス） $\rightarrow$ 偏差の積は「プラス $\times$ プラス ＝ プラス」
- 左下エリア（第3象限）：$X$も平均以下（マイナス）、$Y$も平均以下（マイナス） $\rightarrow$ 偏差の積は「マイナス $\times$ マイナス ＝ プラス」
- 左上エリア（第2象限）：$X$は平均以下（マイナス）、$Y$は平均以上（プラス） $\rightarrow$ 偏差の積は「マイナス $\times$ プラス ＝ マイナス」
- 右下エリア（第4象限）：$X$は平均以上（プラス）、$Y$は平均以下（マイナス） $\rightarrow$ 偏差の積は「プラス $\times$ マイナス ＝ マイナス」
例えば「気温（$X$）」と「暖房器具の電気代（$Y$）」の関係を考えると、気温が高い日（$X$がプラス）は電気代が安く（$Y$がマイナス）なり、気温が低い日（$X$がマイナス）は電気代が高く（$Y$がプラス）なります。この場合、プロットの多くが「左上」や「右下」に集まるため、計算される偏差積のほとんどがマイナスになります。
そのマイナスの値をすべて足し合わせて平均をとるため、全体の共分散も当然ながら負（マイナス）の値を示します。すなわち、共分散の符号は「片方が増えたとき、もう片方が増える傾向（プラス）にあるか、減る傾向（マイナス）にあるか」という運動の向きを正確に映し出しているのです。
決定的な違いは単位にあり｜相関係数との違いと使い分け理由を徹底比較
共分散を学ぶ上で絶対に避けて通れないのが、相関係数との違いと使い分け理由です。「共分散が求まれば、なぜわざわざ相関係数を計算する必要があるのか？」という疑問に対する答えは、共分散が抱える「単位の罠」にあります。
先ほどの例で、勉強時間の単位を「時間」から「分」に変更したとします。すると、$X$の値がすべて60倍になり、偏差も60倍になります。その結果、偏差積は60倍、最終的な共分散は $44 \times 60 = 2640$ に跳ね上がってしまいます。データの関係性そのものは全く変わっていないにもかかわらず、測定単位を変えただけで共分散の値は大きく変動してしまうのです。
この欠点を克服するために考案されたのが「相関係数（ピアソンの積率相関係数 $r$）」です。相関係数は、共分散を「$X$の標準偏差」と「$Y$の標準偏差」の積で割り算することで、単位の影響を完全に排除（無次元化）しています。
| 比較項目 | 共分散（Covariance） | 相関係数（Correlation） | 編集部の見解・実務での位置づけ |
|---|---|---|---|
| 取り得る値の範囲 | $-\infty$ から $+\infty$ まで（制限なし） | $-1.0$ から $+1.0$ まで | 相関係数は上限・下限が決まっているため客観比較が容易。 |
| 単位の影響 | 大きく受ける（例：cmとmで100倍変わる） | 受けない（無次元数） | 異なるスケールの指標（売上金額とアクセス数など）の比較には相関係数が必須。 |
| 判定できる内容 | 関係の向き（正の傾き／負の傾き）のみ | 関係の向き ＋ 相関の強弱 | 共分散単体で「数値が大きいから強い相関がある」と判断するのは初学者が最も陥りやすい誤謬。 |
| 主な利用用途 | ポートフォリオ理論、多変量解析の計算中間体 | ビジネス分析での相関分析、要因探索 | 最終的なレポートや意思決定の場では相関係数が標準的に用いられる。 |
このように、共分散はそれ単体で関係の強弱を判定する指標ではなく、相関係数を導出するための「基礎部品」や、金融工学における投資リスクの分散計算（共分散行列）など、高度な多変量解析を支える計算基盤として活用されています。
【実態検証】標本共分散と不偏共分散の違い｜nで割るかn-1で割るかの境界線
統計学を学ぶ人が必ず直面する混乱が、「偏差積和を $n$ で割るのか、それとも $n-1$ で割るのか」という問題です。標本共分散と不偏共分散の違いは、特に統計検定対策まとめとして試験対策を進めている方にとって合否を分ける重要トピックです。
手元にあるデータそのものの特性を記述したい場合（記述統計）は、素直にデータ数 $n$ で割る「標本共分散」を使用します。全数調査や、その集団自体に関心があるケースがこれに該当します。
一方で、一部のサンプル（標本）から背後にある母集団全体の共分散を推定したい場合（推測統計）は、$n$ ではなく $n-1$（自由度）で割る「不偏共分散」を用います。手元のサンプルから計算した平均値には標本特有の偏りが含まれており、$n$ で割ると母共分散を過小評価してしまう数学的性質（バイアス）があるためです。$n-1$ で割ることで、この過小評価を補正し、母共分散の期待値と一致させることができます。
大学の講義やデータサイエンスの現場、統計検定2級以上の出題では、特に断りがない限り標本データに対しては不偏共分散（$n-1$で割る計算）を標準として扱うケースが一般的です。問題文が「手元の標本自体の共分散」を求めているのか、「母集団の共分散の不偏推定量」を求めているのかを意識する癖をつけましょう。
【Excel実践】共分散エクセルでの求め方とCOVARIANCE.S関数の使い方
実務の現場において、大量のデータから手計算で共分散を求めることはまずありません。実務担当者が押さえるべきは、共分散エクセルでの求め方と適切なワークシート関数の選定です。
Excelには、用途に応じて明確に使い分けが求められる2つの共分散関数が用意されています。
=COVARIANCE.P(配列1, 配列2)：母集団全体または標本そのものの共分散（$n$で割る標本共分散）を計算する関数=COVARIANCE.S(配列1, 配列2)：サンプルから母集団を推定する共分散（$n-1$で割る不偏共分散）を計算する関数
関数名の末尾にある「.P」は Population（母集団）、「.S」は Sample（標本）を意味しています。ビジネス分析でアンケート標本や一部の売上ログから分析を行う場合は、COVARIANCE.S関数の使い方をマスターしておくのが鉄則です。
また、3つ以上の変数（例えば「広告費」「Webサイト訪問数」「成約数」など）が相互にどう連動しているかを一度に確認したい場合は、共分散行列の求め方が役立ちます。Excelの「データ」タブにある「データ分析」アドインから「共分散」を選択し、分析対象のセル範囲を一括指定することで、変数間の共分散が格子状に並んだ「共分散行列」を一瞬で出力できます。
一般に知られていない盲点とネットの誤解｜共分散の大きさに騙されるな
ネット上の簡易解説記事やSNS上の議論では、「共分散の値が1000を超えているから非常に強い相関がある」といった誤った解釈が散見されます。しかし、これは統計学的に明確な誤りです。
前述の通り、共分散の大きさは「変数のスケール（単位）」に完全に引きずられます。例えば、身長（m）と体重（kg）の共分散が「0.5」だった場合と、身長（mm）と体重（g）の共分散が「500,000」だった場合、後者の方が数字は圧倒的に大きいですが、データの連動性の強さは全く同一です。
共分散を見て分かるのは、あくまで「プラスの連動か、マイナスの連動か、あるいは無相関に近いか」という方向性のみです。データの連動の「強さ（散布図上の直線性）」を評価したい場合は、必ず相関係数に変換して判定しなければなりません。
【プロの結論】データ分析の目的に応じた適切な使い分け基準
データ分析業務や資格試験において、どの指標を使うべきか迷った際は、以下の明確な基準で判断してください。
- 共分散（COVARIANCE.S / COVARIANCE.P）を選択すべきケース：
- 資産運用における分散投資の最適配分比率（ポートフォリオ理論）を計算するとき
- 主成分分析（PCA）や多変量正規分布のパラメータ推定など、機械学習アルゴリズムの入力値として扱うとき
- 相関係数（CORREL関数など）を選択すべきケース：
- ビジネスの現場で「売上と気温に関係があるか」「施策の効果が出ているか」を直感的にレポートするとき
- 異なる単位を持つ複数の要素間で、どれが最も目的変数に影響を与えているかを比較・スクリーニングするとき
「単体での解釈には相関係数、アルゴリズムや複合的なモデル構築には共分散」という境界線を明確にしておくことが、分析ミスを防ぐ最大の防御策となります。
【共 分散 求め 方】に関するよくある質問（FAQ）
Q1：共分散が0になった場合、2つのデータには全く関係がないと言えますか？
A1：直線的な関係（線形関係）がないことは示せますが、「全く関係がない」とは言い切れません。例えば、$Y = X^2$ のような明確な二次関数の関係（U字型の曲線）がある場合でも、正の偏差積と負の偏差積が打ち消し合い、共分散や相関係数は0になります。共分散を計算する前には、必ず散布図を作成してデータの形状を目視確認することが不可欠です。
Q2：統計検定2級の対策では、標本共分散と不偏共分散のどちらを優先して覚えるべきですか？
A2：両方の定義と違いを明確に区別して覚える必要があります。特に標本データから母共分散を推定する問題や、標本分散・不偏分散の公式と連動した計算問題では「$n-1$ で割る不偏共分散」の計算が頻出します。問題文で「標本共分散を求めよ」と指定されているのか、「不偏共分散（または母共分散の推定量）」を問われているのかを正確に読み取ることが重要です。
Q3：共分散の計算で「簡便法（公式の変形）」があると聞きましたが、どのようなものですか？
A3：共分散は定義通り「偏差の積の平均」で求める以外に、「$(X \times Y)$ の平均値」から「($X$の平均値) $\times$ ($Y$の平均値)」を引き算するという簡便公式（$s_{xy} = \overline{xy} - \bar{x}\bar{y}$）でも計算できます。平均値が整数にならない場合、この簡便法を使うと小数の引き算を大幅に減らせるため、手計算での大幅な時間短縮と計算ミス防止に直結します。
まとめ：共分散の本質を掴んでデータ分析と統計検定を攻略する
共分散は一見すると複雑な数式に見えますが、その本質は「2つのデータのズレ（偏差）を掛け合わせた平均値」という極めてシンプルな幾何学的構造に基づいています。
符号を見ることで「正の相関」か「負の相関」かを見極め、単位に依存する弱点を理解した上で相関係数へとステップアップする――この道筋が頭の中で整理されていれば、もはや公式を丸暗記する必要はありません。Excel関数の使い分けや不偏推定量としての性質もしっかりと身につけ、今後のデータ分析実務や統計検定対策に自信を持って活用していきましょう。 （出典: 共 分散 求め 方（Yahoo!ニュース））
情報を整理して届けることが得意なWebディレクター。ユーザー視点に立った記事作成を目指しています。
